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数学方程:二阶线性偏微分方程和标准公式的分类

作者:365bet足球联赛发布时间:2019-09-10 08:46

更新:9APR2016
=========方法========
对于任何二阶齐次二元微分方程,
(A_{11} dfrac{ partial ^ 2 u}{ partialx ^ 2}+ 2a_{12} dfrac{ partial ^ 2 u}{ partial x partial}+ a_{22} dfrac{ partial ^2u}{ partialy ^ 2}+ b_1 dfrac{ partialu}{ partialx}+ b_2 dfrac{ partialu}{ partialy}+ cu = 0 )
以下是如何找到特征方程,确定分类并将其转换为标准形式:
1
切割:只有次要部件很重要
(A_{11} dfrac{ partial ^ 2 u}{ partialx ^ 2}+ 2a_{12} dfrac{ partial ^ 2 u}{ partial x partial}+ a_{22} dfrac{ partial ^2u}{ partialy ^ 2}= 0 )
2
更改:将偏导数更改为dx,dy。
(\ Dfrac{ partial ^ 2u}{ partialx ^ 2} rightarrow(dy)^ 2 )
(\ Dfrac{ partial ^ 2u}{ partialy ^ 2} rightarrow(dx)^ 2 )
(\ Dfrac{ partial ^ 2 u}{ partialx partial} rightarrow color{red}{ textbf{}}(dxdy))?注意负号。
(A_{11}(dy)^ 2 color{red}{ textbf{}}a_{12}(dxdy)+ a_{22}(dx)^ 2 = 0 )
这是特征方程。
3
点:即使考虑了通常的系数,特征方程的系数(a_{ij})也是x和y的函数。
这是一个二次方程,你可以写它(\ Delta )
(\ Delta = a_{12}^ 2-a_{11}a_{22})
讨论方程区域中的符号。
拉普拉斯方程式(\ Delta0 )椭圆方程。
一维热方程式(\ Delta = 0 )抛物线方程。
一维波动方程式(\ Delta 0 )双曲方程。
这是等式的分类。
还有一种混合型。
4
计数器:解决dy和dx之间的关系。请注意,使用分解可能更容易。
得到两个常微分方程(或一个)。
一旦获得两个方程,就解决了两个y和x之间的关系。请注意,这两个表达式中的每一个都有一个整数常量。
积分常数被视为新坐标(显示为(\ xi, eta )),两个方程相反。也就是说,两个坐标由x和y表示。
此时,执行变量替换。
在抛物线方程中,您可以得到常数微分方程,这些微分方程被求解以获得坐标。另一个坐标可以任意设为y。
您必须在计算中使用链规则,因为不能直接完成和替换偏导数。

推导:计算u的第一,第二和混合偏导数相对于x和y的偏导数,由(\ xi, eta )表示。
6
生成:将先前的偏导数分配给原始方程,并得到一个简化的方程,其中(\ xi, eta )作为自变量。
这是等式的标准形式。
7
解决方案:遵循标准解决方案并在(\ xi, eta )处寻求通用解决方案。
分配给x并使用边界条件来解决它。
=========原则========
编写特征方程是因为我们想在这里使用原始方程。
(A_{11} dfrac{ partial ^ 2 u}{ partialx ^ 2}+ 2a_{12} dfrac{ partial ^ 2 u}{ partial x partial}+ a_{22} dfrac{ partial ^2u}{ partialy ^ 2}+ b_1 dfrac{ partialu}{ partialx}+ b_2 dfrac{ partialu}{ partialy}+ cu = 0 )
成为
(A_{11} dfrac{ partial ^ 2 u}{ partial xi ^ 2}+ 2 A_{12} dfrac{ partial ^ 2 u}{ partial xi partial eta}+ A_{22} dfrac{ partial ^ 2 u}{ partial eta ^ 2}+ B_1 dfrac{ partial } xi}+ B_2 dfrac{ partialu}{ partial eta}+ Cu = 0 )
变量替换
(\ Xi = varphi(x,y))
(\ Eta = psi(x,y))


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